아빠가 들려 주는 [수학] 원주율 구하기 아르키메데스 방법(아래에 동영상과 엑셀 파일 있음)

내일은 파이데이 3월 14일입니다.
아들이 파이데이를 이용해서 4행시를 지었다고 하네요.
이런 것도 숙제를 내어 준다는데,
정말 요즘 아이들은 공부를  재미있게 하는군요.
수학과 국어를 접목해서 시를 만들기도 하는군요.
오늘은 파이데이 특집
원주율 구하기 한번 해 보겠습니다.
사실 이렇게 블로그로 올리고
아이들에게 보여 줄려고요.

 우리는 원의 일부인 부채꼴 AOB를 가지고 있습니다.
각도 AOB는 임의 각도, 180도보다 적은 각도라고 해 봅시다.

 만일 우리가 직선 AB의 길이를 알고 있다면,

 이 부채꼴을 정확히 이등분 하는 선분 OC를 그렸을 때,
직선 AC와 직선 BC의 길이를 알 수 있을까요?
이것이 아르키메데스가 생각했던 방법입니다.
이렇게 해서, 무한히 부채꼴을 이등분하면서 생기는 선분 AC와 선분 BC를 더하게 되면
결국 원의 둘레를 구할 수 있다고 생각했던 거죠.

정확한 길이를 계산하는 것은 너무 귀찮은 일이라서 생략하기로 하고
과연 구할 수 있는지만 알아 보는 것으로 하죠.
우선 반지름은 1이라고 가정합시다.
선분 AB의 중점을 D라고 합시다.
이등변 삼각형인 AOB의 밑변을 이등분했으므로
삼각형 ODB는 직각 삼각형입니다.
그러면 피타고라스의 정리에 의해서
선분 OD는 알 수 있습니다.

 그러면 이제 우리는 알 수 있는 값을 o로 표시해 보면,
선분 OB, 선분 BD, 선분 OD를 알 수 있습니다.
한편 선분 OC도 반지름이므로 길이가 1이고,
그렇다면 우리는 선분 CD도 알게 됩니다.
그러면 다시 피타고라스의 정리에 의해서,
선분 BC도 알게 됩니다.

 그럼 다시 알고 있는 것을 정리하게 되면,
결국 우리는 선분 BC와 선분 AC도 알게 됩니다.

 결국 이 모든 과정을 요약하게 되면
우리는 선분 AB를 알고 있다면, 선분 AC와 선분 BC도 알게 됩니다.
그러면 다시
선분 AC를 알고 있으므로 이렇게 생긴 부채꼴을 다시 이등분해서 생긴
이등변 삼각형의 밑변을 알 수 있게 된다는 뜻입니다.

 아주 옛날 사람 아르키메데스는
먼저 첫 삼각형을 (또는 첫 부채꼴 OAB)를 정삼각형으로 정했습니다.
전체적으로 보면 정6각형이 되는 셈이죠.
그러면 선분 AB는 1이 됩니다.
그 다음 단계로는
정 12각형을 그리고, 그 밑변의 길이를 계산합니다.
다시 정 24각형을 그리고, 계산하고,
다시 정 48각형을 그리고, 계산하고,
반복할 때마다 정다각형이 두배씩 변이 많아지게 되고, 그 변의 둘레를
모두 합하면 원둘레에 점차 접근하게 됩니다.
이 작업은 극한의 개념을 가지고 있으며,
어떻게 생각하면 미적분의 개념을 가지고 있었던 것입니다.

이것은 비례식을 이용해서 간단히 계산할 수 있다.
우리는 앞서 선분 OD의 길이를 알 수 있었다.
삼각형 OAB와 삼각형OA’B’는 닮은 삼각형이며,
이것의 비도 알 수 있다.
즉 우리는 이 두 이등변 삼각형의 높이인
선분 OD와 선분 OC를 알기 때문에,
비례를 이용하여, 선분 A’B’를 계산할 수있게 된다.

다시 이 말은 선분 AC의 길이를 알게 되었기에
선분 A’C’의 길이도 알게 된다는 뜻이 된다.
즉 내접하는 정다각형의 둘레를 알면
외접하는 정다각형의 둘레도 알 수 있다는 뜻이다.

 그 옛날 사람 아르키메데스는
이 방법을 이용해서, 먼저 내접하는 정6각형과 외접하는 정6각형을 그려서
그 둘레를 구했다.
그리고, 다시 이를 이용해서,
다시 내접하는 정 12각형과 외접하는 정12각형을 구했다.
다시 이것을 점점 더 세분하여
96각형까지 구했고,
외접하는 것과 내접하는 다각형 둘레가 점차 하나의 값으로
일치한다는 것을 이론적으로
또 실제 계산으로 생각하게 된 것이다.
우리가 고등학교 수학시간에 배우는 극한의 개념,
무한의 개념을 이용한 것이지
구체적으로 상극한과 하극한을 이용한 것이다.
원의 둘레는 그 사이에 있을테니……

위의 동영상에 나온 것을 직접 해 볼 수 있습니다.



오른쪽 아래의 아이콘을 이용해서 전체창으로 확대하여 실험해 보면
더 편리합니다. 

아마도 상상도일 것같은 이 그림의 오른쪽을 보면,
부채꼴을 보여 주는데, 어쩌면 파이를 구하는 모습일 지도 모릅니다.
바로 그 옆에는 나선이 그려져 있군요.
자와 컴퍼스만으로는 그릴 수 없는 도형이죠.
다른 도구가 있다면 그릴 수 있을까요?
다른 몇 가지 도구가 있으면 그릴 수는 있습니다.
이전에 고등학교 때에 그것을 그려 본적이 있는데,
끈이 필요합니다. (힌트)
다음에 이야기하기로 하죠.

지레를 이용해서 지구를 움직일 수도 있다고 말한 것으로도 유명하죠.
(사실 뭐, 지레없이도 여러분도 나도 움직일 수가 있지만. 그건 나중에…)
그리고 여담으로

탈레스(BC 624 ~ BC 545?)가 지중해를 항해하면서 관찰한 바, 땅의 모양의 근거로 땅은 원형 방패처럼 가운데가 부풀어 오른 원반형이라고 말했다. 그리고 이를 근거로 지구가 둥글다고 주장한 사람은 고대 그리스의 피타고라스(BC 570 ~ BC 490)였다. 그는 지구가 둥글며, 완전한 구형이라고 주장했다.
아리스토텔레스(BC 384~BC 322)는 훨씬 실제 관찰 자료에 근거한 주장을 폈다. 월식 때 달에 생기는 지구 그림자가 둥글다는 것, 그리고 남쪽지방으로 가면 북쪽 지방의 하늘에서 볼 수 없었던 별자리가 보이고, 수평선 너머에서 배가 다가올 때 돛대의 끝이 먼저 보이기 시작한다는 것 등을 지구가 둥글다는 증거로 댄 것이다.
에라토스테네스는 한술 더 떠서 기원전 240년에 지구의 둘레를 계산하기도 했다. '하지(북반구에서 해가 가장 높게 올라오는 날)날 정오에 시에네(현재 명칭은 아스완)에서는 해가 머리 위에 있어서 그림자가 생기지 않지만, 알렉산드리아에서는 그림자가 생긴다'는 사실을 토대로 지구의 둘레를 250,000스타디아라고 계산했다.
중세 유럽에서는 종교적인 이유로 지구가 둥글다는 것을 거부하고 지구가 평평하다고 생각했다는 잘못된 인식이 현대에 널리 퍼져 있으나, 대부분의 중세 학자들도 고대의 연구를 받아들여 지구가 둥글다고 생각했다. 애초에 이 시대에는 지동설이냐 천동설이냐가 논쟁의 중심이며, 헬레니즘 시대에 이미 완성된 천동설은 지구 구형설을 전제로 성립된 것이었다. 아우구스티누스, 히에로니무스, 암브로시우스 같은 기독교의 초기 교부들도 모두 지구가 둥글다는 데 동의했다. 토마스 아퀴나스는 아리스토텔레스의 증명을 받아들여 지표면의 다른 곳에서 별자리의 위치가 변하는 것이 지구가 둥글다는 증거라고 생각했다. 로저 베이컨도 자신의 저서에 지구가 둥글다고 분명히 적었고, 캉브레의 대주교였뎐 피에르 다이이도 지구가 구형이라고 말했다.
출처 : https://namu.wiki/w/지구구형론
기원전 287년 정도에 태어난 아르키메데스는 당연히 지구는 둥글다는 것에 이미 익숙했을터,
그러므로, 위와 같은 지레를 이용하면 지구도 움직일 수 있다는 생각을 했을 수도 있다.
그렇지만, 조금 더 생각해서 왜 지구반대편 사람은 떨어지지 않을까라는 생각을 했더라면,
사실 아르키메데스 정도 된다면, 만유인력을 생각했어야 할 것도 같은데....
비록 철학적이거나 관념적인 말이라도 할 수 있을 것같은데
만물의 근원을 숫자로 생각했다거나, 분자로 생각했던 정도의
사람들이, 만유인력을 생각지 못했다는 것은 참으로 의외라는 생각이 든다.
그것도 지금에서야 그 생각을 하는 것이겠지.
사실 부력이 만유인력이나 중력보다 훨씬 어려운 개념이라는 생각이 드는데…….